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title: "Wilcoxon-Test für abhängige Stichproben"
output: html_notebook
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# Hypothese 
H1: Der Toleranzschwellwert gegen v ändert sich im Laufe von drei Jahren. $Median_{vorher} \ne Median_{nacher}$

H0: Der Toleranzschwellwert gegen Schmutz ändert sich im Laufe von drei Jahren nicht. $Median_{vorher} = Median_{nachher}$


# Voraussetzungen für den Wilcoxon-Test   

Die abhängige Variable ist mindestens ordinalskaliert - erfüllt!


Es liegen zwei verbundene Stichproben oder Gruppen vor, aber die verschiedenen Messwertpaare sind voneinander unabhängig (e.g. Paar A und Paar B sind voneinander unabhängig)

1) Es wird dieselbe Person beim Einzug und 3 Jahre nach dem Einzug befragt 
2) Die Daten sind unabhängig, weil verschiedene Studierende befragt wurden ( A und B sind unabhängig.)



# Boxplots zur Darstellung der Werte


```{r}
boxplot(uebung7$TUZvorher, uebung7$TUZnachher, main = "Boxplot TUZ",col = c("hotpink3", "deepskyblue"), names = c("(links) Einzug", "(rechts) nach 3 Jahren"), ylab = "TUZ")

```

Die Mediane unterscheiden sich. Der Median für die Var. "TUZvoher" liegt bei 4, der von "TUZnacher bei 6. Es gibt keine Ausreißer und die Daten sehen gut verteilt aus. 


# Berechnung der Mediane


```{r}
library(psych)
zusammenfassung <-describe(uebung7)
zusammenfassung
```



# ALTERNATIV


```{r}
#Median der Var. Vorher und Nachher

sprintf("TUZ vorher: %.2f", median(uebung7$TUZvorher))

sprintf("TUZ nachher: %.2f", median(uebung7$TUZnachher))
sprintf("Anzahl der Daten: %.f", nrow(uebung7))
```

Es gibt einen Unterschied in der zentralen Tendenz zwischen zwei Messzeitpunkten. Beim Einzug lag die Toleranzschwelle bei einem Median von 4 nach 3 Jahren bei 6 (n=12).



# Ergebnisse des Wilcoxon-Tests

### Ist die Stichprobe hinreichend gross (n > 20), so ist der kritische Wert asymptotisch normalverteilt.
```{r}

test<- wilcox.test(uebung7$TUZvorher, uebung7$TUZnachher,alternative = "two.sided",paired = TRUE, exact = FALSE)
test

```

### Ist dies nicht der Fall, so wird die exakte Signifikanz verwendet.

```{r}

test<- wilcox.test(uebung7$TUZvorher, uebung7$TUZnachher,alternative = "two.sided",paired = TRUE, exact = TRUE)
test

```


### doppelt vorkommende Daten

"kann bei Bindungen keinen exakten p-Wert Berechnen, kann den exakten p-Wert bei Nullen nicht berechnen"-  Da in diesem Datensatz die Rangierung doppelt vorkommen, kann kein exakter p-Wert berechnet werden.



# Exakter Test wegen sehr kleiner Stichprobe n=12

```{r}
library(exactRankTests)
test<- wilcox.exact(uebung7$TUZvorher, uebung7$TUZnachher,alternative = "two.sided",paired = TRUE, exact = TRUE)
test
```
Die Teststatistik beträgt V = 2 und der zugehörige Signifikanzwert p = 0.007812. Damit ist der Unterschied signifikant: Die zentralen Tendenzen der beiden Messzeitpunkte unterscheiden sich (Wilcoxon-Test: V = 2, p = 0.007812, n = 12).

### mit der library(coin)


```{r}
library(coin)
test<- wilcox.exact(uebung7$TUZvorher, uebung7$TUZnachher,alternative = "two.sided",paired = TRUE, exact = TRUE)
test
```
Es gibt keine Unterschiede in der Darstellung oder Berechnung. 



# Berechnung der Effektstärke


$$r=\left| \frac{z}{\sqrt{n}} \right|$$



### Der z - Wert
```{r}

Zstat1<-qnorm(test$p.value/2)

sprintf("Z-Wert für den WSR: %.2f", Zstat1)

```
*Hinweis:* Bei diesem z-Wert handelt es sich um das z-empirisch.

### Anzahl der Daten aus dem Datensatz
```{r}
nk<-nrow(uebung7[uebung7$TUZvorher!=uebung7$TUZnachher,])
sprintf("Anzahl ohne Null: %.f", nk)
```

Die Anzahl kann auch unter Datenmartix ausgelesen werden. In dem vorliegenden Beispiel sind es 10 Datensätze.

```{r} 
# absoluter Wert -> Betrag
eff <-abs(Zstat1)/sqrt(nk)
sprintf("Effektstärke: %.2f", eff)

```

Zur Beurteilung der Grösse des Effektes dient die Einteilung von Cohen (1992):

$$
\begin{align}
\text{Schwacher Effekt: } 0.10 &< ||r|| < 0.25             \\
\text{Schwacher bis mittlerer Effekt: } 0.25 &= ||r||      \\
\text{Mittlerer Effekt: } 0.25 &< ||r|| < 0.40             \\
\text{Mittlerer bis starker Effekt: }0.40 &= ||r||         \\
\text{Starker Effekt: } 0.40 &< ||r||        
\end{align}
$$

Damit entspricht die Effektstärke von .84 einem starken Effekt.

# Eine Aussage

Die Toleranzschwelle steigt nach 3 Jahren im Wohnheim an (V = 2, p-value = 0.007812, n=12). Beim Einzug liegt der Median für die Toleranz gegen Schutz und Dreck bei 4 nach 3 Jahren bei 6, sprich die Studierenden werden toleranter gegenüber Schmutz und Dreck. Die Effektstärke nach Cohen (1992) liegt bei r = .84 und entspricht einem starken Effekt.

H0 kann verworfen werden.

