---
title: "Pearson Chi-Quadrat-Test | Cramers V"
output: html_notebook
---
## Packages


## Roadmap
Pearson Chi-Quadrat-Test | Cramers V

1.	Hypothese 

2.	Voraussetzungen

3.	Balkendiagramm

4.	Kreuztabelle 

5.	Erwarteten Werte 

6.	X²

7.	Cramers ´V

8.	Aussage 




```{r}
library(readxl)
uebung9 <- read_excel("C:/Users/Alfa/Desktop/Uebungen/uebung9.xlsx")
#View(uebung9)
```


```{r}
head(uebung9)
```

```{r}
summary(uebung9)
```

```{r}
str(uebung9)
uebung9$Geschlecht <- as.factor(uebung9$Geschlecht)
uebung9$Brille <- as.factor(uebung9$Brille)
str(uebung9)
```



## 1.	Hypothese 

H1: Es gibt einen Zusammenhang zwischen dem Geschlecht(m/w) und Bereitschaft eine Brille (ja/nein) zu tragen.<br>
H0: Es gibt keinen Zusammenhang zwischen dem Geschlecht(m/w) und Bereitschaft eine Brille (ja/nein) zu tragen.

## 2.	Voraussetzungen
Die Variablen sind kategorial (nominal- oder ordinalskaliert)
-> Erfüllt da beide Variablen(Geschlecht/Brille) kategorial sind.


**1) Die Stichprobe ist > 50. 200 > 50 **

*2) Ist dies nicht der Fall, so wird bei einer Stichprobe kleiner als 20 der exakte Test nach Fisher verwendet*

*3) bei einer Stichprobengroesse zwischen 20 und 50 die Korrektur nach Yates.*




```{r}
sprintf("Anzahl der Daten: %d",nrow(uebung9) )
```
Es hat sich gezeigt, dass insgesamt 200 Teilnehmer befragt worden sind. 



**Die Freiheitsgrade des Chi-Quadrat-Tests sind groesser als 1. Ist dies nicht der Fall, so wird die Korrektur nach Yates verwendet**

$$df = (Gruppe-1)*(Gruppe-1)$$

In diesem Beispiel liegt ein 2x2 Design vor. Daher liegt der df bei 1 und wir müssen nach Yates korrigieren.

Die erwarteten Zellhäufigkeiten sind > 5. Ist dies nicht der Fall, so wird der exakte Test nach Fisher verwendet. --> Klärung in Punkt 5 


## 3.	Balkendiagramm

```{r}
counts<- table(uebung9$Geschlecht, by = uebung9$Brille)

barplot(counts, main="Balkendiagramm",
col=c("deepskyblue","tomato"),
ylab="Anzahl Personen",xlab = "Geschlecht und Brille",
beside=T,
names.arg =c("M-Brille","F-Brille","M-ohne-Brille", "F-ohneBrille"))
```
```{r}
counts<- table(uebung9$Geschlecht, by = uebung9$Brille)

barplot(counts, main="Brille und Geschlecht",
col=c("blue","red"),
ylab="Anzahl Personen",xlab = "Bereitschaft eine Brille",
ylim=c(0,130),
beside=FALSE,
names.arg =c("Mit Brille","Ohne Brille"),
legend=TRUE)
```
```{r}

counts<- table( uebung9$Brille, by = uebung9$Geschlecht)
#counts
barplot(counts, main="Brille und Geschlecht",
col=c("orange","lightgreen"),
ylab="Anzahl Personen",xlab = "Geschlecht",
ylim=c(0,130),
beside=FALSE,
names.arg =c("Männer","Frauen"),
legend=TRUE)
```


```{r}
kurz<- c("M-Brille","F-Brille","M-ohne-Brille", "F-ohneBrille")
Anzahl <- c(70,40,30,60)
brillegender <- data.frame(kurz,Anzahl)

```
 
 
```{r}
barplot(brillegender$Anzahl, names.arg = brillegender$kurz)
```
 
## 4.	Kreuztabelle

```{r}
counts<- table( Geschlecht = uebung9$Geschlecht, Brille = uebung9$Brille)
head(counts)
```

Wie der Tabelle zu entnehmen ist, gibt es 
*70* Mann, die eine Brille tragen, 
*30* Frauen, die eine Brille tragen, 
*40* Männer, die keine Brille tragen, sowie 
*60* Frauen, die keine Brille tragen.


```{r}
library("sjPlot")
library("sjmisc")
```

```{r}
sjt.xtab(uebung9$Geschlecht, uebung9$Brille)
```


## 5.	Erwarteten Werte 


**Die erwarteten Zellhäufigkeiten sind > 5. Ist dies nicht der Fall, so wird der exakte Test nach Fisher verwendet.**
Zur Klärung dieser Frage werden die erwarteten Werte errechnet. 

$$f= \frac{Zeilensumme*Spaltensumme}{n}$$

```{r}
ch1 <- chisq.test(counts)
ch1$expected
```
Wie der Tabelle entnommen, werden kann zeigt es sich, dass die erwarteten Zellhäufigkeiten größer als 5 sind, daher ist keine Anpassung nach Fisher notwendig. 



```{r}
sjt.xtab(uebung9$Geschlecht, uebung9$Brille,
         title = "Brille und Geschlecht im Zusammenhang",
         show.cell.prc = TRUE, show.exp = TRUE, show.legend =          T)
```

### Prozentangabe, der jeweiligen Ausprägung


```{r}
sjt.xtab(uebung9$Geschlecht, uebung9$Brille,
         title = "Brille und Geschlecht im Zusammenhang",
         show.cell.prc = TRUE, show.exp = TRUE, show.legend = 
           T)
```

### Prozentangabe, der jeweiligen Ausprägung

```{r}
frq(uebung9$Geschlecht,
    title = "Geschlecht ",
    out = "viewer")
```

```{r}
frq(uebung9$Brille, 
    title = "Brille",
    out = "viewer")
```

```{r}
frq(uebung9$Brille, 
    title = "Brille",
    out = "viewer")
```

## 6.	$\chi^2$


Zur Berechnung des $\chi^2$ ist eine Anpassung nach Yates notwendig, aber keine Anpassung nach Fisher. Daher wird folgender R-Code verwendet. 


```{r}
ergebnis<- chisq.test(counts, correct=T)
ergebnis
```
An der Überschrift "Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction" ist zu erkennen, das nach Yates der Chi-Wert angepasst wurden. 


```{r}
sprintf("kritischer Prüfwert: %.2f",qchisq(0.95, df=1))
```

**Hinweis:** $$kritische \thinspace Prüfwert < empirsche \thinspace Prüfwert  \rightarrow sig. \\ 3.84 < 16.99 \rightarrow sig$$
        


Es zeigt sich, dass ein sig. Ergebnis vorliegt (Chi-Quadrat(1) = 16.99, p = 3.758e-05, n = 200). Damit gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und dem Tragen einer Brille. 


## 7.	Cramers ´V

```{r}
anzahl <- nrow(uebung9)
sprintf("Die Anzahl liegt bei %d.", nrow(uebung9))

```

$$ \mbox{Cramers V} = \sqrt{\frac{\chi^2}{n(2-1)}} = \sqrt{\frac{`r ergebnis$statistic`}{`r anzahl` (2-1)}}$$

** Es liegt ein 2X2 Design vor.**

```{r}
cramersV <- sqrt(ergebnis$statistic/anzahl*(2-1))
sprintf("Die Effektstärke liegt bei %.2f.", cramersV)
```
Cramers V liegt bei jeder Kreuztabelle unabhaengig von der Anzahl der Zellen zwischen 0 (Minimum) und 1 (Maximum)

Cramers V ist immer positiv -> keine Aussage über Richtung des Zusammenhangs

$$
\begin{align}
\text{Schwacher Effekt: } 0.1 &< ||Cramers V|| \leq  0.3 \\
\text{Schwacher bis mittlerer Effekt: }0.3 &< ||Cramers V|| \leq  0.4 \\
\text{Mittlerer Effekt: } 0.4 &< ||Cramers V|| < 0.5 \\
\text{Mittlerer bis starker Effekt: }0.5 &= ||Cramers V|| \\
\text{Starker Effekt: } 0.5 &< ||Cramers V|| 
\end{align}
$$
Es zeigt sich für unsere Auswertung, dass ein schwacher Zusammenhang besteht.

## 8.	Aussage 

Das Geschlecht und das Tragen einer Brille steht in einem Zusammenhang (Chi-Quadrat(1)=16.99, p = 3.758e-05, n = 200). Der Zusammenhang ist schwach (Cramers V = .29). Damit kann die H0 verworfen werden.


